垂直于弦的直径
第一课时 垂直于弦的直径(一)教学目标:
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证实;
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
难点:垂径定理的证实.
教学学习活动设计:
(一)实验活动,提出问题:
1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
(二)垂径定理及证实:
已知:在⊙o中,cd是直径,ab是弦,cd⊥ab,垂足为e.
求证:ae=eb, = , = .
证实:连结oa、ob,则oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直线cd是等腰△oab的对称轴,又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时,cd两侧的两个半圆重合,a点和b点重合,ae和be重合, 、 分别和 、 重合.因此,ae=be, = , = .从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
cd为⊙o的直径,cd⊥ab ae=eb, = , = .
为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
(三)应用和练习
例1、如图,已知在⊙o中,弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求⊙o的半径.
分析:要求⊙o的半径,连结oa,只要求出oa的长就可以了,因为已知条件点o到ab的距离为3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此时解rt△aoe即可.
解:连结oa,作oe⊥ab于e.
则ae=eb.
∵ab=8cm,∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,
在rt△aoe中,
(cm).
∴⊙o的半径为5 cm.
说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
例2、 已知:如图,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.(证实略)
说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1:教材p78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.