圆的标准方程


圆的标准方程

1、教学目标

  (1)知识目标:

  1、在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

  2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程;

  3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题.

  (2)能力目标:

  1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

  2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

  3、增强学生用数学的意识.

  (3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

  2、教学重点、难点

  (1)教学重点: 圆的标准方程的求法及其应用.

  (2)教学难点:①会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

  3、教学过程

  (一)创设情境(启迪思维)

  问题一:

  已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

  [引导]:画图建系

  [学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)

  解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)

  将x=2.7代入,得 

  即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

  (二)深入探究(获得新知)

  问题二:

  1根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程?

答:x2+y2=r2

2如果圆心在,半径为时又如何呢?

  [学生活动]:探究圆的方程。

  [教师预设]:方法一:坐标法

  如图,设m(x,y)是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}

  由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为      ①

  把①式两边平方,得(x―a)2+(y―b)2=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

  (三)应用举例(巩固提高)

  i.直接应用(内化新知)

  问题三:1写出下列各圆的方程(课本p77练习1)

(1)圆心在原点,半径为3;

(2)圆心在,半径为

(3)经过点,圆心在点

2根据圆的方程写出圆心和半径

(1)  (2)

  ii.灵活应用(提升能力)

  问题四:1求以为圆心,并且和直线相切的圆的方程.

  [教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.

2求过点,圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.

  [教师引导]应用待定系数法寻找圆心和半径.

3已知圆的方程为,求过圆上一点的切线方程.

  [学生活动]探究方法

  [教师预设] [多媒体课件演示]

方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率—垂直)

方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率—联立方程)          

方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式)             

方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)

4你能归纳出具有一般性的结论吗?

已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:

  iii.实际应用(回归自然)

  问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱的长度(精确到0.01m)。

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