算术平均数与几何平均数1
教学目标(1)把握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理;
(2)能运用定理证实不等式及求一些函数的最值;
(3)能够解决一些简单的实际问题;
(4)通过对不等式的结构的分析及特征的把握把握重要不等式的联系;
(5)通过对重要不等式的证实和等号成立的条件的分析,培养学生严谨科学的熟悉习惯,进一步渗透变量和常量的哲学观;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式: ,根据这个结论,又得到了一个定理: ,并指出了 为 的算术平均数, 为 的几何平均数后,随后给出了这个定理的几何解释。
(2)重点、难点分析
本节课的重点内容是把握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”;把握两个正数的和为定值时积有最大值,积为定值时和有最小值的结论,教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值.为突破重难点,教师单方面强调是远远不够的,只有让学生通过自己的思考、尝试,注重到平均值定理中等号成立的条件,发现使用定理求最值的三个条件“一正,二定,三相等”缺一不可,才能大大加深学生对正确使用定理的理解,教学中要注重培养学生分析归纳问题的能力,帮助学生形成知识体系,全面深刻地把握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.
㈠定理教学的注重事项
在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中,要让学生注重以下两点:
(1) 和 成立的条件是不同的:前者只要求 都是实数,而后者要求 都是正数。
例如 成立,而 不成立。
(2)这两个公式都是带有等号的不等式,因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时,要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义:
当 时取等号,其含义就是:
仅当 时取等号,其含义就是:
综合起来,其含义就是: 是 的充要条件。
(二)关于用定理证实不等式
当用公式 , 证实不等式时,应该使学生熟悉到:
它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。因此,凡是用它们可以获证的不等式,一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证实。
(三)应用定理求最值的条件
应用定理时注重以下几个条件:
(1)两个变量必须是正变量;
(2)当它们的和为定值时,其积取得最大值;当它们的积是定值时,其和取得最小值;
(3)当且仅当两个数相等时取最值.
即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件,才能求得最值.
在求某些函数的最值时,还要注重进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数.
(四)应用定理解决实际问题的分析