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不等式的性质(2)


不等式的性质(2)

课    不等式的性质(2)

教学目的:

1 理解同向不等式,异向不等式概念;

2 理解不等式的性质定理1—3及其证明;

3 理解证明不等式的逻辑推理方法.

4 通过对不等式性质定理的掌握,培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯

教学重点:掌握不等式性质定理1、2、3及推论,注意每个定理的条件

教学难点:1 理解定理1、定理2的证明,即“a>b b<a和a>b,b>c a>c”的证明 这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则

2 定理3的推论,即“a>b,c>d a+c>b+d”是同向不等式相加法则的依据 但两个同向不等式的两边分别相减时,就不能得出一般结论

授课类型:新授课

课时安排:1课时

教    :多媒体、实物投影仪

教学方法:

引导启发结合法——即在教师引导下,由学生利用已学过的有关知识,顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用

教学过程

一、复习引入:

1.判断两个实数大小的充要条件是:

2.(1)如果甲的年龄大于乙的年龄,那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?

(2)如果甲的个子比乙高,乙的个子比丙高,那么甲的个子比丙高吗?为什么?

从而引出不等式的性质及其证明方法.

二、讲解新课:

1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,是同向不等式 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异向不等式

2.不等式的性质:

定理1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.(对称性)

       即:a>b b<a;b<a a>b

证明:∵a>b ∴a-b>0

由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0

即b-a<0  ∴b<a     (定理的后半部分略) .

点评:可能个别学生认为定理l没有必要证明,那么问题:若a>b,则 和 谁大?根据学生的错误来说明证明的必要性 “实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础,本定理也称不等式的对称性.

定理2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)

        即a>b,b>c a>c

证明:∵a>b,b>c  ∴a-b>0, b-c>0

    根据两个正数的和仍是正数,得

    (a-b)+( b-c)>0  即a -c>0

∴a>c

根据定理l,定理2还可以表示为:c<b,b<a c<a

点评:这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形.

定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.

      即a>b a+c>b+c

证明:∵a>b,  ∴a-b>0,

       ∴(a+c)-( b+c)>0  即a+c>b+c

点评:(1)定理3的逆命题也成立;

(2)利用定理3可以得出:如果a+b>c,那么a>c-b,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.

推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)   

        即a>b, c>d a+c>b+d.

证法一:

a+c>b+d

证法二:

a+c>b+d

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