三角函数教案
二、复习要求1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;
3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导
1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
设p(x,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记 ,则 , , , 。
利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即 与α之间函数值关系(k∈z),其规律是"奇变偶不变,符号看象限";(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得 ,可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设t为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x t)=f(x),则称t为f(x)的周期。当t为f(x)周期时,kt(k∈z,k≠0)也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
(1) 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;
(2) 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;
(3) 分类讨论。
四、典型例题
例1、 已知函数f(x)=
(1) 求它的定义域和值域;
(2) 求它的单调区间;
(3) 判断它的奇偶性;
(4) 判断它的周期性。
分析:
(1)x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 ,k∈z
∴ 函数定义域为 ,k∈z
∵
∴ 当x∈ 时,
∴
∴
∴ 函数值域为[ )
(3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性
(4)∵ f(x 2π)=f(x)
∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注;利用单位圆中的三角函数线可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符号;
以ⅱ、ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinx cosx的符号,如图。
例2、 化简 ,α∈(π,2π)
分析: