15.3 乘法公式(精选2篇)
15.3 乘法公式 篇1
15.3 乘法公式课时安排 3课时 从容说课 学习乘法公式,是在学习整式乘法的基础上进行的,是由一般到特殊的体现,所以教学时,可以安排学生计算(a+b)(a-b)、(x-y)(x+y)、(a+b)2、(a-b)2、(x+y)2等,在学生计算的基础上引导学生导出公式,并进一步揭示公式的结构特征,使学生理解并掌握这些公式的特点,为正确运用这些公式进行计算打好基础.为了揭示公式特征,教学中要紧紧地采取对比的方式.紧扣例题与公式进行比较,让学生自己进行比较,发现公式的特征.尽管问题千变万化,以千姿百态出现,通过对比,可以发现特征不变,仍符合公式特征,从而根据公式解决问题. 运用乘法公式计算,有时需要添括号,在已学过去括号法则的基础上,本节还安排了添括号法则.它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础.学习它可以和去括号法则对比进行. 在对比中学,在对比中用,在对比中再进行比较,从基本类型的题目到变化多端的题目,从单一题型到复杂题型,从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比,抓住公式、法则的实质,达到娴熟驾驭,左右逢源,才能做到运用自如的效果.§15.3.1 平方差公式第九课时 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算. (二)能力训练要求 1.在探索平方差公式的过程中,培养符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括的能力. (三)情感与价值观要求 在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简捷美. 教学重点 平方差公式的推导和应用. 教学难点 理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式. 教学方法 探究与讲练相结合. 通过计算发现规律,进一步探索公式的结构特征,在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质,学会灵活运用. 教具准备 投影片. 教学过程 ⅰ.提出问题,创设情境 [师]你能用简便方法计算下列各题吗? (1)×1999 (2)998×1002 [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,可以写成+1,1999可以写成-1,那么×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出. [生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了. [师]很好,请同学们自己动手运算一下. [生](1)×1999=(+1)(-1) =XX2-1+1+1×(-1) =XX2-1 =4000000-1 =3999999. (2)998×1002=(1000-2)(1000+2) =10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996. [师]×1999=XX2-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索. ⅱ.导入新课 [师]出示投影片 计算下列多项式的积. (1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2) (3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y) 观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现. (学生讨论,教师引导) [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项. [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积. [师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现. [生]解:(1)(x+1)(x-1) =x2+x-x-1=x2-12 (2)(m+2)(m-2) =m2+2m-2m-2×2=m2-22 (3)(2x+1)(2x-1) =(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12 (4)(x+5y)(x-5y) =x2+5y•x-x•5y-(5y)2 =x2-(5y)2[生]从刚才的运算我发现: 也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果. [师]能不能再举例验证你的发现? [生]能.例如:51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12. 即(50+1)(50-1)=502-12. (-a+b)(-a-b)=(-a)•(-a)+(-a)•(-b)+b•(-a)+b•(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. [师]为什么会是这样的呢? [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了. [师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明. [生]这个规律用符号表示为: (a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式. 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明: (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. [师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢? [生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样? [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式. (出示投影) 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用. 在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算 (出示投影片) 例1:运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y) 例2:计算: (1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座. 在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b. 即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22 (a+b)(a-b)=a2-b2 同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化: (b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b). 如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则. (作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的) [例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4. (2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2. (3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. [例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2) =1002-22=10000-4=9996. (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+5y-y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么? [生]我觉得应注意以下几点: (1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式. (2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. (3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式. [生]运算的最后结果应该是最简才行. [师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言. ⅲ.随堂练习 出示投影片: 计算: (1)(a+b)(-b+a) (2)(-a-b)(a-b) (3)(3a+2b)(3a-2b) (4)(a5-b2)(a5+b2) (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c) (6)(a-b)(a+b)(a2+b2) 解:(1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2. (3)(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2. (4)(a5-b2)(a5+b2)=(a5)2-(b2)2=a10-b4. (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c)=(a+2b)2-(2c)2 =(a+2b)(a+2b)-4c2 =a2+a•2b+2b•a+(2b)2-4c2 =a2+4ab+4b2-4c2 (6)(a-b)(a+b)(a2+b2) =(a2-b2)(a2+b2) =(a2)2-(b2)2=a4-b4. 优胜组总结发言: 这些运算都可以通过变形后利用平方差公式.其中变形的形式有:位置变形;符号变形;系数变形;指数变形;项数变形;连用公式.关键还是在于理解公式特征,学会对号入座,有整体思想. ⅳ.课时小结 通过本节学习我们掌握了如下知识. (1)平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这个公式叫做乘法的平方差公式.即(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)公式的结构特征 ①公式的字母a、b可以表示数,也可以表示单项式、多项式; ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式; ③有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]=(x-z)2-y2. ⅴ.课后作业 1.课本p179练习1、2. 2.课本p182~p183习题15.3─1题. ⅵ.活动与探究 1.计算:1234567892-123456788×123456790 2.解方程:5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x- )(x+ )=2. 过程: 1.看似数字很大,但观察到:123456788=123456789-1,123456790=123456789+1,所以可以用平方差公式去化简计算. 2.方程中含有多项式的乘法,而且符合平方差公式特征,可以用平方差公式去化简. 结果: 1.1234567892-123456788×123456790 =1234567892-(123456789-1)(123456789+1) =1234567892-(1234567892-1) =1234567892-1234567892+1 =1. 2.原方程可化为: 5x+6(3x+2)(3x-2)-54[x2-( )2]=2 ∴5x+6(9x2-4)-54x2+6=2 即5x+54x2-24-54x2+6=2 移项合并同类项得5x=20 ∴x=4. 板书设计 备课资料 [例1]利用平方差公式计算: (1)(a+3)(a-3)(a2+9); (2)(2x-1)(4x2+1)(2x+1). 分析:(1)(a+3)(a-3)适合平方差公式的形式,应先计算(a+3)(a-3);(2)中(2x-1)(2x+1)适合平方差公式的形式,应先计算(2x-1)×(2x+1) 解答:(1)原式=(a2-9)(a2+9) =(a2)2-92=a4-81; (2)原式=[(2x-1)(2x+1)](4x2+1) =[(2x)2-12](4x2+1) =(4x2-1)(4x2+1) =(4x2)2-1=16x4-1. 方法总结:观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征,符合公式结构特征的先算.这是这类试题的计算原则. [例2]计算: (1)1002-992+982-972+962-952+…+22-12; (2)(1- )(1- )(1- )…(1- )(1- ). 分析:直接计算显然太复杂,不难发现每两个项正好是平方相减的形式.于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)去计算.事实上,这是可行的. 解答:(1)(1002-992)+(982-972)+(962-952)+…+(22-12) =(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1) =100+99+98+97+…+2+1 =(100+1)+(99+2)+…+(51+50) =50×101=5050; (2)(1- )(1- )(1- )…(1- )(1- ). =(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )(1- )…(1+ )(1- )(1+ )(1- ) = × × × × × ×…× × × × = × = . 方法总结:逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用.
15.3 乘法公式 篇2
课 题9.5乘法公式的再认识—因式分解
课时分配本课(章节)需 3 课时本 节 课 为 第 1 课时为 本 学期总第 课时一、运用平方差公式分解因式
教学目标1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。2、使学生理解平方差公式的意义,弄清平方差公式的形式和特点;使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。3、掌握运用平方差公式分解因式的方法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式(直接用公式不超过两次)
重 点运用平方差公式分解因式
难 点灵活运用平方差公式分解因式
教学方法
对比发现法
课型
新授课
教具投影仪
教 师 活 动
学 生 活 动情景设置:同学们,你能很快知道992-1是100的倍数吗?你是怎么想出来的?(学生或许还有其他不同的解决方法,教师要给予充分的肯定)新课讲解:从上面992-1=(99+1)(99-1),我们容易看出,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式?首先我们来做下面两题:(投影)1.计算下列各式:(1) (a+2)(a-2)= ;(2) (a+b)( a-b)= ;(3) (3 a+2b)(3 a-2b)= .2.下面请你根据上面的算式填空:(1) a2-4= ;(2) a2-b2= ;(3) 9a2-4b2= ;请同学们对比以上两题,你发现什么呢?事实上,像上面第2题那样,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。(投影)比如:a2–16=a2–42=(a+4)(a–4)例题1:把下列各式分解因式;(投影)(1) 36–25x2 ; (2) 16a2–9b2 ;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2 .(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)例题2:如图,求圆环形绿化区的面积练习:第87页练一练第1、2、3题小结:这节课你学到了什么知识,掌握什么方法?教学素材:a组题:1.填空:81x2- =(9x+y)(9x-y); = 利用因式分解计算: = 。2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) (a) (b) (c) (d) 3. 把下列各式分解因式(1) 1-16 a2 (2) 9a2 x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2b组题:1分解因式81 a 4-b4= 2若a+b=1, a2+b2=1 , 则ab= ;3若26+28+2n是一个完全平方数,则n= . 由学生自己先做(或互相讨论),然后回答,若有答不全的,教师(或其他学生)补充.学生回答1:992-1=99×99-1=9801-1=9800学生回答2:992-1就是(99+1)(99-1)即100×98学生回答:平方差公式学生回答:(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9 a2-4b2学生轻松口答(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)学生回答:把乘法公式(a+b)( a-b)=a2-b2反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)学生上台板演:36–25x2=62–(5x)2=(6+5x)(6–5x)16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=(4a+3b)(4a–3b)9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=(5a+b)(a+5b)解:352π–152π=π(352–152)=(35+15)(35–15)π=50×20π=1000π (m2)这个绿化区的面积是1000πm2学生归纳总结
作业第91页第1(1)(2)②③(3)①③④题
板 书 设 计复习 例1 板演…… …… ………… …… ………… 例2 ………… …… ………… …… ……
教 学 后 记