二次根式（精选12篇）
二次根式 篇1
一、教学目标
1.了解的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；
3. 掌握的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围.
难点：确定中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
定义： 式子 叫做.
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫， 是吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2） 是，而 ，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个的例子，并说明为什么是.下面例题根据定义，由学生分析、回答.
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是.
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略.
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.
例3 当字母取何值时，下列各式为：
（1） (2) (3) (4)
分析：由的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是.
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是.
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是.
例4 下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是
分析：（2） 中， ， 是；（5）是. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
二次根式 篇2
一、教学目标
1.了解的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；
3. 掌握的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围.
难点：确定中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
定义： 式子 叫做.
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫， 是吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2） 是，而 ，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个的例子，并说明为什么是.下面例题根据定义，由学生分析、回答.
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是.
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略.
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.
例3 当字母取何值时，下列各式为：
（1） (2) (3) (4)
分析：由的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是.
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是.
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是.
例4 下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是
分析：（2） 中， ， 是；（5）是. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
二次根式 篇3
一、教学目标
1.了解的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；
3. 掌握的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围.
难点：确定中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
定义： 式子 叫做.
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫， 是吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2） 是，而 ，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个的例子，并说明为什么是.下面例题根据定义，由学生分析、回答.
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是.
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略.
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.
例3 当字母取何值时，下列各式为：
（1） (2) (3) (4)
分析：由的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是.
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是.
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是.
例4 下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是
分析：（2） 中， ， 是；（5）是. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
二次根式 篇4
一、教学目标
1.了解的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；
3. 掌握的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围.
难点：确定中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
定义： 式子 叫做.
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫， 是吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2） 是，而 ，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个的例子，并说明为什么是.下面例题根据定义，由学生分析、回答.
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是.
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略.
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.
例3 当字母取何值时，下列各式为：
（1） (2) (3) (4)
分析：由的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是.
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是.
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是.
例4 下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是
分析：（2） 中， ， 是；（5）是. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
二次根式 篇5
一、教学目标
1.了解的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；
3. 掌握的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围.
难点：确定中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
定义： 式子 叫做.
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫， 是吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2） 是，而 ，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个的例子，并说明为什么是.下面例题根据定义，由学生分析、回答.
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是.
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略.
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.
例3 当字母取何值时，下列各式为：
（1） (2) (3) (4)
分析：由的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是.
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是.
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是.
例4 下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是
分析：（2） 中， ， 是；（5）是. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
二次根式 篇6
一、教学目标
1.掌握二次根式的混合运算.
2.掌握混合运算的应用.
3.通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力.
4.通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点：二次根式的混合运算.
2.教学难点：混合运算的应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【例题】
例1 化简：
（1） ； （2） .
解：（1）
.
（2）
.
说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如 ，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把 先变为 ，这样 则为1，继续运算可避免错误.
例2 解下列方程（组）：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
.
（2）①× ，得
③
②× ，得
④
③－④，得
把 代入①，得
解得 .
∴ 是原方程组的解.
（3）由②，得
③
①× ，得
④
③－④，得
把 代入①，得
.
∴ 是原方程组的解.
例3 已知 ， ，求 的值.
解： .
.
， ，
∴ .
例4 已知 ， ，求 的值.
解： ， .
.
（二）随堂练习
1.教材中P206中8.
2.解不等式： .
解：
∴ .
3.已知 ， ，求 的值.
解：3. ，或 .
.
∴
.
4.已知 ， ，求： 的值.
解 4.
.
5.已知 ，求 的值.
解 5. .
.
6.不求方根的值比较 与 的大小.
解 6.∵
∴
∴
（三）总结、扩展
根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简.
（四）布置作业
教材中P207B组1、3和补充作业 .
补充作业 ：
1.已知 ，求 的值.
2.已知 ， ，求 的值.
（五）板书设计
标 题
1.例题…… 3.例题……
2.练习题 4.练习题
八、背景知识与课外阅读
二次根式的混和运算方法和顺序
1.方法 （1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则.
（2）在实数范围内运算律仍适用.
（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式.
2.顺序 先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数.
二次根式 篇7
教学建议
1.教材分析
本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法.本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接.
(1)知识结构
(2)重难点分析
①本节的重点 Ⅰ.概念
Ⅱ.利用二次根式的性质把二次根式化简为.
重点分析 本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算.二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的.因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步.
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧.
难点分析 化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用.化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分.所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题.熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力.
③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断.因此建议在教学过程 中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧.
另外，化简运算在本节既是重点也是难点，学生在简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程 中多要求学生观察二次根式的特点――根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，培养学生的分析能力和观察能力――多要求学生注意每步运算的根据，培养学生的严谨习惯.
2.教法建议
素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。因此教师设计教学时要充分考虑到学生心理特点和思维特点，充分发挥情感因素，使学生完全参与到整个教学中来。
⑴在复习引入时要注意每个学生的反映，对预备知识掌握比较好的学生要用适当的方式给于表扬，掌握差一些的学生要给予鼓励和适当的指导，使每一个学生愉快的进入下一个环节。
⑵学生自主学习时段，教师要注意学生的反馈情况，根据学生的反馈情况和学生的层次采取适当的方式对需要帮助的学生给予帮助，中上等的学生可以启发，中等的学生可以与他探讨，偏后的学生可以帮他分析.
一.教学目标
1.了解的意义，并能作出准确判断.
2.能熟练地把二次根式化为.
3.了解把二次根式化为在实际问题中的应用.
4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.
5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.
6.通过本节的学习，渗透转化的数学思想.
二.重点难点
1.教学重点 会把二次根式化简为
2.教学难点 准确运用化二次根式为的方法
三.教学方法
程序式教学
四.课时安排
2课时
五.教学过程
1.复习引入
教师准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料.
【预备资料】
⑴.二次根式的性质
⑵.二次根式性质例题
⑶.二次根式性质练习题
【引入材料】
看下面的问题：
已知： ＝1.732，如何求出 的近似值?
解法1：
解法2：
比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便.
2.概念讲解与巩固
下列二次根式中哪些是？哪些不是？为什么？
分析：判断一个二次根式是不是的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.
解：有 ，因为
被开方数中含能开得尽方的因数9，所以它不是.
说明：判断一个二次根式是否为主要方法是根据的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
【概念理解巩固材料1】
正选练习题1
判断下列各式是否是？
备选选练习题1
判断下列各式是否是？
【概念理解学习材料2】
例2判断下列各式是否是？
分析：（1） 显然满足的两个条件.
（2） 或
解：只有 ，因为
或
说明：应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）.
【概念理解巩固材料2】
正选练习题2
判断下列各式是否是？
备选选练习题2
判断下列各式是否是？
【概念理解学习材料3】
例3判断下列各式是否是？
分析：应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）来进行判断发现 和 是，而 不是，因为
在根据定义知 也不是，因为
解：有 和 ，因为
，
.
【概念理解巩固材料3】
正选练习题3
判断下列各式是否是？
备选选练习题3
判断下列各式是否是？
题目可根据学生实际情况选择2－3道.
【概念理解学习材料4】
例4判断下列各式是否是？
分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断.
（1） 不能分解因式， 显然满足的两个条件.
（2）
解：只有 ，因为
.
说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察.
【概念理解巩固材料4】
正选练习题4
判断下列各式是否是？
备选选练习题4
判断下列各式是否是？
题目可根据学生实际情况选择2－3道.
3.化简二次根式为方法学习与巩固
学生阅读教师预备的材料，理解后自主完成教师准备的正选练习题，每完成一套与教师交流一次，在教师的指示下继续进行.教师要及时了解学生对二次根式化简的反馈情况，如果掌握比较理想，则要求进入下一步操作，否则应与学生进行适当沟通，如需要可从备选练习题选择巩固.
【化简方法学习材料1】
例1把下列二次根式化为
分析：本例题中的2道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面即可.
解：
【化简方法巩固材料1】
正选练习题1
化简
备选练习题1
化简
题目可由教师根据学生情况准备.
【化简方法学习材料2】
例2 把下列二次根式化为
分析：本例题中的2道题被开方数都是多项式，应先进行因式分解.
解：
说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外面后要注意符号问题.
在化简二次根式时，要防止出现如下的错误:
等等.
化简二次根式的步骤是：
(1) 把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式.
(2) 化去根号内的分母，即分母有理化.
(3) 将根号内能开得尽方的因数(式)开出来.
【化简方法巩固材料2】
正选练习题2
化简
备选练习题2
化简
题目可由教师根据学生情况准备.
【化简方法学习材料3】
例3把下列二次根式化为
分析：被开方式比较复杂时，要先对被开方式进行处理。
解：
说明：运算中要注意运算的准确性和合理性.
【化简方法巩固材料3】
正选练习题3
化简
备选练习题3
化简
题目可由教师根据学生情况准备.
4.小结
⑴概念
⑵二次根式的化简
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分.
二次根式 篇8
一、教学目标
1.理解分母有理化与除法的关系.
2.掌握二次根式的分母有理化.
3.通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力.
4.通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点：分母有理化.
2.教学难点：分母有理化的技巧.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【复习提问】
二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式.
例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：
（1） （先乘除，后加减）.
（2） （有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）.
（3）辨别有理化因式：
有理化因式： 与 ， 与 ， 与 …
不是有理化因式： 与 ， 与 …
化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）.
例如， 、 、 等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？
引入新课题.
【引入新课】
化简式子 ，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以 的有理化因式，而这个式子就是 ，从而可将式子化简.
例2 把下列各式的分母有理化：
（1） ； （2） ； （3）
解：略.
注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据.式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单.
（二）随堂练习
1.把下列各式的分母有理化：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
解：（1） .
（2） .
另解： .
（3）
.
另解： .
通过以上例题和练习题，可以看出，有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，例如：
，现将分母有理化，就可以了.
，学生易发生如下错误，将式子变形为 ，而正确的做法是 .
2.计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（三）小结
1.强调二次根式混合运算的法则；
2.注意对有理化因式的概括并寻找出它的规律.
（1）如单独一项 的有理化因式就是它本身 .（2）如出现和、差形式的： 的有理化因式为 ， 的有理数化因式为 .
（2）练习：教材P202中1、2.
（四）布置作业
教材P205中4、5.
（五）板书设计
标题
1.复习内容 3.练习题一
2.例4 4.练习题二
二次根式 篇9
教学目标
1.使学生进一步理解最简二次根式的概念；
2.较熟练地掌握把一个式子化为最简二次根式的方法.
教学重点和难点
重点：较熟练地把二次根式化为最简二次根式.
难点：把被开方数是多项式和分式的二次根式化为最简二次根式.
教学过程设计
一、复习
1.把下列各式化为最简二次根式：
请说出第(3)，(4)题的解题过程.
答：第(3)题的被开方数是一个多项式，先把它分解因式，再运用积的算术平方根的性质，把根号中的平方式及平方数开出来，运算结果应化为最简二次根式.
理化.
二、新课
例1 把下列各式化成最简二次根式：
请说出各题的特点和解题思路.
答：(1)题的被开方数及(2)题的被开方数的分子是多项式，应化成因式积的形式，可以先分解因式，再化简.
(3)题的被开方数的分母是两个数的平方差，先利用平方差公式把它化为乘积形式，再根据商的算术平方根和积的算术平方根的性质及分母有理化的方法，使运算结果为最简二次根式.
例2 计算：
分析：依据二次根式的乘除法的法则进行计算，最后要把计算结果化成最简二次根式.
三、课堂练习
1.选择题：
(1)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(2)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(3)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(4)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(5)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(7)下列化简中，正确的是 [ ]
(8)下列化简中，错误的是 [ ]
2.把下列各式化为最简二次根式：
3.计算：
答案：
四、小结
1.把一个式子化为最简二次根式时，如果被开方数是多项式，应把它化成积的形式，一般可考虑先分解因式，然后再化简.
2.如果一个式子的被开方数的分母是一个多项式，而这个多项式又不能分解因式(如课堂练习2(2))，在分母有理化时，把分子分母同乘以这个多项式.
3.二次根式的乘除法运算，运算结果一定要化为最简二次根式.
五、作业
1.把下列各式化成最简二次根式：
2.计算：
答案：
课堂教学设计说明
最简二次根式教学分二课时进行.教学设计中首先安排讨论二次根式的被开方数是单项式以及被开方数的分母是单项式的情况，然后再讨论被开方数是多项式和分母是多项式的情况.通过5个例题及课堂练习，最后达到使学生比较深刻地理解最简二次根式的概念，达到熟练地掌握把二次根式化为最简二次根式的教学目标.
的是引导学生能把一个式子化简为最简二次根式应用于有关计算问题中去，把最简二次根式和已学过的二次根式的乘除运算进行联系，促使学生把单个概念和方法纳入认知系统中，启发学生认识到二次根式的乘除运算与最简二次根式是密切关联的.
二次根式 篇10
一、教学目标
1.掌握二次根式的性质
2.能够利用二次根式的性质化简二次根式
3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法
二、教学设计
对比、归纳、总结
三、重点和难点
1.重点：理解并掌握二次根式的性质
2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学步骤
（一）教学过程
【复习引入】
1.求值 、 、 、 …
求值 、 、 、 …
结论：当 时， ；
当 时， .
2.求值 、 …
结论：当 时，式子有意义， ，对于 ， 不能为负数.
3.求值 、 …
结论：当 时， .
问：若根号内这个式子中的底数 ，根式还有意义吗？其值等于什么？
例如， ，其中－2与2互为相反数； ，其中－3与3互为相反数； ，其中 与 互为相反数.
【讲解新课】
提出问题： 等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：
教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若 时， 能否等于 ，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的理解和记忆.
例1 化简：
（1） ； （2） .
解：（略）.
注： 可看作 ，把 先写为 ；
可看作 ，把 先写为 .
例2 化简： .
分析：底数 是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件 ，可得 .
∴ .
解：（略）.
例3 化简下列各式：
（1） （ ）； （2） （ ）；
（3） （ ）； （4） （ ）.
解：（1）∵
∴ .
∴
.
（2）∵
∴ ，即 .
∴
.
（3）∵
∴ ，即 .
∴
.
（4）∵ ，
∵ ，即 .
∴ .
注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式 计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负.
在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力.
（二）随堂练习
1.求值：
（1） ；（2） ；（3） （ ）；
（4） ；（5） .
解：（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
（5） .
注： ，学生易与 相混淆.
2.化简：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （ ）； （5） （ ）.
解：（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
（5） .
（三）总结、扩展
对公式 ，一定要在理解在基础上牢固掌握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断.
（四）布置作业
教材P213中1（2）、（3）；2（1）、（2）.
（五）板书设计
标 题
1.复习题 4.练习题
2.公式
3.例题
二次根式 篇11
教学建议
知识结构：
重点难点分析：
是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.
教学难点 是与商的算术平方根的关系及应用.与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.
教法建议：
1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.
2. 本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二课时讨论法则，并运用这一法则进行简单的运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况；第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.
3. 引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.
教学设计示例
一、教学目标
1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；
2.会进行简单的运算;
3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题；
4. 培养学生利用公式进行化简与计算的能力；
5. 通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力；
6. 通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.
二、教学重点和难点
1.重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的运算，还要使学生掌握采用分母有理化的方法进行.
2.难点：与商的算术平方根的关系及应用.
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节
内容可引导学生自学，进行总结对比.
四、教学手段
利用投影仪.
五、教学过程
(一) 引入新课
学生回忆及得算数平方根和性质： （a≥0，b≥0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)
学生观察下面的例子，并计算：
由学生总结上面两个式的关系得：
类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：
(二)新课
商的算术平方根.
一般地，有 （a≥0，b＞0）
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义.
引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.
例1 化简：
（1） ； （2） ； （3） ；
解∶（1）
（2）
（3）
说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数；本节根号下的字母均为正数.
例2 化简：
（1） ； (2) ；
解：（1）
（2）
让学生观察例题中分母的特点，然后提出， 的问题怎样解决？
再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况， 的问题，我们将在今后的学习中解决.
学生讨论本节课所学内容，并进行小结.
(三)小结
1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)
2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.
(四)练习
1.化简：
（1） ； （2） ； （3） .
2.化简：
（1） ； （2） ； (3)
六、作业
教材P.183习题11.3；A组1.
七、板书设计
二次根式 篇12
一、教学目标
1.了解二次根式的意义;
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;
3. 掌握二次根式的性质 和 ，并能灵活应用;
4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;
5. 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.
难点：确定二次根式中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根?
2.说出下列各式的意义，并计算：
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：二次根式
定义： 式子 叫做二次根式.
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
(1)式子 只有在条件a0时才叫二次根式， 是二次根式吗? 呢?
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
(2) 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的外在形态.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a-10时，a+10又如当0
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义?
解：略.
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.
例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：
(1) (2) (3) (4)
分析：由二次根式的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b20，当a、b为任意实数时， 是二次根式.
(2)-3x0，x0，即x0时， 是二次根式.
(3) ，且x0，x0，当x0时， 是二次根式.
(4) ，即 ，故x-20且x-20, x2.当x2时， 是二次根式.
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
(1) ; (2) ; (3) ; (4)
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：(1)由2a+30，得 .
(2)由 ，得3a-10，解得 .
(3)由于x取任何实数时都有|x|0，因此，|x|+0.10，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.
(4)由-b20得b20，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是二次根式
分析：(2) 中， ， 是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x0时，又如当x-1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
五、作业
教材P.172习题11.1;A组1;B组1.
六、板书设计